Practica 4: Resolución de sistemas de primer y segundo orden

1-      Enunciado

Hallar Y(t) para los diferentes impulsos U(s). Impulso de Dirac impulso e impulso unitario:

Obtención del modelo

      Sistema de primer orden:

Para que el sistema sea de primer orden la ecuación debe ser de segundo orden

Sistema de segundo orden:

Las ecuaciones de entrada y salida deben ser de segundo orden

 Y(s)= G(s) x U(s)

Relacion con la teoría de clase

• Impulso de Dirac o escalón unitario

 

Cuando se tiene como entrada una señal de entrada del tipo escalón, esta nos ayuda a conocer la respuesta del sistema cuando ocurren cambios abruptos en su entrada, también nos proporciona un bosquejo del tiempo en el que se establece la señal, es decir, el tiempo que tarda el sistema en alcanzar su respuesta permanente

Esta señal se representa de la siguiente  manera 

• Impulso unitario=  1

	La función     dada por

donde , se conoce como la función impulso unitario. La gráfica de la función escalón para y se muestra en la figura 1.8.
Observación: para valores pequeños de , se tiene que es una función constante de gran magnitud que esta activa por un tiempo muy corto alrededor de .

Resolución con Matlab

 - Sistema de 1º Orden:
        * Impulso de Dirac:

             - syms A; syms a; syms s; syms g; syms y1; syms Y1; syms u;
             - g = (A/(s+a));
             - A = 10; a = 3;
             - u = 1/s;
             - Y1 = g*u;
             - y1 =  ilaplace(Y1)

             - figure
             - ezplot(y1,[0,3]), axis([0,2,0,12])


        * Escalón Unidad: 

             - syms A; syms a; syms s; syms g; syms y2; syms Y2; syms us;
             - g = (A/(s+a));
             - A = 10; a = 3;
             - u = 1;
             - Y2 = g*u;
             - y2 = ilaplace(Y2);

             - figure
             - ezplot(y2,[0,3]), axis([0,2,0,12])

- Sistema de 2º Orden:
        * Impulso de Dirac:

             - syms wn; syms e; syms s; syms u; syms g;
             - e = 0.2;
             - u = 1/s;
             - g = wn^2/(s^2+2*E*wn*s+wn^2);
             - Y1 = g*u;
             - y1 = ilaplace(Y1);
             - y13 = vpa(y1,3);

             - figure(1);
             - ezplot(y13,[0,3]),axis([0,3,0,4])


        * Escalón Unidad:

             - syms wn; syms e; syms s; syms u; syms g;
             - e = 0.2;
             - u = 1;
             - g = wn^2/(s^2+2*E*wn*s+wn^2);
             - Y2 = g*u;
             - y2 = ilaplace(Y1);
             - y23 = vpa(y2,3);

             - figure(2);
             - ezplot(y23,[0,3]),axis([0,3,0,4])

Resolución con Matlab

  - Sistema de 1º Orden:
        * Impulso de Dirac:

              ys = A/(s*(a + s))

 * Escalón Unidad: 

             ys = A/(a + s)

 

4.2. - Sistema de 2º Orden:

         * Impulso de Dirac:

* Escalón Unidad: 

 

Practica 3: Circuito RLC con Matlab

Enunciado

 Dado el circuito de la figura calcular las intensidades i1 e i2:

Pasos a seguir:

-Pasamos el circuito RLC a impedancias

- Una vez obtenidas las impedancias,obtenemos las intensidades por el metodo de las mallas

Obtención del modelo

     Mesh method. 2ª Ley de Kirchoff.

     {v = (z1*i1 + z3*i1) - (z3*i2)
     {0 = (z2*i2 + z3*i2 + z4*i2) - (z3*i1)




   

Resolución con Matlab



    - syms R; syms w; syms i1; syms i2;
    - v = 10; L = 10e-3; C = 47e-6;
    - z1 = R; z2 = 0+ (w*L)*1i; z3 = 0+(1/(1i*w*C)); z4 = 2;
    - e1 = z1*i1+z3*i1-z3*i2-v;
    - e2 = -z3*i1+z3*i2+z2*i2+z4*i2;
    - [i1 i2] = solve (e1,e2,i1,i2)

     i1 =

     (10*(6935975771714791*w^2*i + 1387195154342958200*w -    14757395258967641292800*i))/(147573952589676412928*w - 14757395258967641292800*R*i + 1387195154342958200*R*w + 6935975771714791*R*w^2*i - 29514790517935282585600*i)


     i2 =

    -(147573952589676412928000*i)/(147573952589676412928*w -   14757395258967641292800*R*i + 1387195154342958200*R*w + 6935975771714791*R*w^2*i - 29514790517935282585600*i) 

Reducimos a solo 3 decimales:

>> vpa(i1,3)

ans =

(10.0*(6.94*10^15*w^2*i + 1.39*10^18*w - 1.48*10^22*i))/(1.48*10^20*w - 1.48*10^22*R*i + 1.39*10^18*R*w + 6.94*10^15*R*w^2*i - 2.95*10^22*i)

>> vpa(i2,3)

ans =

-(1.48*10^23*i)/(1.48*10^20*w - 1.48*10^22*R*i + 1.39*10^18*R*w + 6.94*10^15*R*w^2*i - 2.95*10^22*i

 Relación con la teoría de clase

La notación para las operaciones matemáticas elementales es la siguiente:

El orden en que se realizan las operaciones de una línea es el siguiente: primero, la exponenciación; luego, las multiplicaciones y divisiones; y finalmente, las sumas y las restas. Si se quiere forzar un determinado orden, se deben utilizar paréntesis, que se evalúan siempre al principio. Por ejemplo, para hallar dos entre tres, 

» 2/2+1
ans =

2

(en efecto: primero se calcula 2/2 y luego se suma 1).

» 2/(2+1)
ans =

0.6667

He aquí una tabla con algunas funciones elementales:

Vectores y matrices

Un vector se define introduciendo los componentes, separados por espacios o por comas, entre corchetes:
» v=[sqrt(3) 0 -2]
v =

1.7321   0   -2.0000

Para definir un vector columna, se separan las filas por puntos y comas:

» w=[1;0;1/3]
w =

1.0000

0

0.3333

La operación transponer (cambiar filas por columnas) se designa por el apóstrofe:

» w'
ans =

1.0000   0   0.3333

Para introducir matrices, se separa cada fila con un punto y coma:
» M = [1 2 3 ;4 5 6 ;7 8 9]
M =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Para referirse a un elemento de la matriz se hace así:

» M(3,1)
ans =

7

Para referirse a toda una fila o a toda una columna se emplean los dos puntos:

» v1=M(:,2)
v1 =

2

5

8

Algunas funciones definidas sobre matrices: